El estudio de pequeños y medianos sistemas por medio de la dináminca mecano-cuántica de Car-Parrinello ha permitido generar nuevo conocimiento por parte de científicos. Fue introducida hace unos 24 años por parte de Car y Parrinello en un paper en la revista Phys. Rev. Lett. 1985. Está basada en complicadas ecuaciones de movimineto temporal o hamiltoniano temporal. En el caso particular del Lagrangiano que viene dado por la siguiente equación temporal
![\mathcal{L} = \frac{1}{2}\left(\sum_I^{\mathrm{nuclei}}\ M_I\dot\mathbf R_I^2 + \mu\sum_i^{\mathrm{orbitals}}\int d\mathbf r\ |\dot\psi_i(\mathbf r,t)|^2 \right) - E\left[\{\psi_i\},\{\mathbf R_I\}\right],](http://upload.wikimedia.org/math/4/c/e/4ce2111718f0e5abed27130efd8eb252.png)
Los términos del Lagrangiano son: sumatorio sobre los I nucleos para el múltiplo de la masa y la derivación parcial del radio de los nucleos, también el múltiplo de la masa reducida y el sumatorio sobre todos los orbitales que se pueden estimar del sistema por medio de KS-DFT, menos la energía asociada a la función de plana de onda y al radio I de cada núcleo.
Ésta es la constraint asociada a la resolución de las ecuaciones temporales. Es el solapamiento entre las funciones de onda planas resueltas por el hamiltoniano temporal o ecuación de Kohn-Sham dependiente del tiempo.
![M_I \ddot \mathbf R_I = - \nabla_I \, E\left[\{\psi_i\},\{\mathbf R_J\}\right]](http://upload.wikimedia.org/math/9/f/6/9f6b9d0a1252105c8ccc56f41b897e1c.png)
